Πίνακας Αλήθειας
Τι είναι ο Πίνακας Αλήθειας:
Ο πίνακας αλήθειας ή ο πίνακας αλήθειας είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρέως στον τομέα της λογικής συλλογιστικής. Σκοπός του είναι να επαληθεύσει την λογική εγκυρότητα μιας σύνθετης πρότασης (επιχείρημα που αποτελείται από δύο ή περισσότερες απλές προτάσεις).
Παραδείγματα σύνθετων προτάσεων:
- Ο Γιάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι μικρή.
- Ο Pedro είναι ψηλός ή η Joana είναι ξανθιά.
- Εάν ο Pedro είναι ψηλός, τότε η Joana είναι κόκκινη.
Κάθε μία από τις παραπάνω προτάσεις αποτελείται από δύο απλές προτάσεις που ενώνουν τα σύμβολα με έντονους χαρακτήρες. Κάθε απλή πρόταση μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής και αυτό θα συνεπάγεται άμεσα τη λογική αξία της σύνθετης πρότασης. Εάν υιοθετήσουμε τη φράση "ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή ", οι πιθανές αποτιμήσεις αυτής της δήλωσης θα είναι:
- Εάν ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή, η φράση "ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή" είναι ΑΛΗΘΕΙΑ.
- Εάν ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία δεν είναι χαμηλή, η φράση "ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή" είναι ΨΕΥΔΕΝ.
- Εάν ο Ιωάννης δεν είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή, η φράση "ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή" είναι FALSE.
- Εάν ο Ιωάννης δεν είναι ψηλός και η Μαίρη δεν είναι χαμηλή, η φράση "ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαίρη είναι χαμηλή" είναι FALSE.
Ο πίνακας της αλήθειας σχηματοποιεί αυτή την ίδια συλλογιστική (δείτε το θέμα Συνάφεια παρακάτω) πιο άμεσα. Επιπλέον, οι κανόνες του πίνακα αλήθειας μπορούν να εφαρμοστούν ανεξάρτητα από τον αριθμό των προτάσεων στην πρόταση .
Πώς λειτουργεί;
Αρχικά, μετατρέψτε τις προτάσεις της ερώτησης σε σύμβολα που χρησιμοποιούνται στη λογική. Η παγκοσμίως χρησιμοποιούμενη λίστα συμβόλων είναι:
| Σύμβολο | Λογική λειτουργία | Σημασία | Παράδειγμα |
|---|---|---|---|
| σ | . | Πρόταση 1 | p = John είναι ψηλός. |
| q | . | Πρόταση 2 | q = Η Μαρία είναι χαμηλή. |
| ~ | Άρνηση | όχι | Εάν ο John είναι ψηλός, το " ~ p " είναι FALSE. |
| ^ | Συναρμολόγηση | και | p ^ q = Ο John είναι ψηλός και η Mary είναι χαμηλή. |
| v | Διαζύγιο | ή | p v q = Ο John είναι ψηλός ή η Mary είναι χαμηλή. |
| → | Προϋπόθεση | αν ναι | p → q = Αν ο John είναι ψηλός τότε η Mary είναι χαμηλή. |
| (Π.χ. | Biconditional | αν και μόνο αν | p ↔ q = Ο John είναι ψηλός εάν και μόνο εάν η Mary είναι χαμηλή. |
Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ένας πίνακας με όλες τις δυνατότητες αποτίμησης μιας σύνθετης πρότασης, αντικαθιστώντας τις επιβεβαιώσεις με σύμβολα. Αξίζει να διευκρινιστεί ότι σε περιπτώσεις όπου υπάρχουν περισσότερες από δύο προτάσεις, μπορούν να συμβολιστούν με τα γράμματα r, s και ούτω καθεξής.
Τέλος, εφαρμόζεται η λογική λειτουργία που καθορίζεται από την παρουσιαζόμενη σύνδεση. Σύμφωνα με την παραπάνω λίστα, αυτές οι πράξεις μπορεί να είναι: άρνηση, συσχέτιση, διάσπαση, υπό όρους και διπλή.
Άρνηση
Η άρνηση συμβολίζεται με ~. Η λογική λειτουργία της άρνησης είναι η απλούστερη και συχνά διανέμει τη χρήση του πίνακα αληθείας. Ακολουθώντας το ίδιο παράδειγμα, αν ο John είναι ψηλός (p) για να πει ότι ο John δεν είναι ψηλός (~ p) είναι FALSE και αντίστροφα.
Συναρμολόγηση
Το σύμβολο συμβολίζεται από ^ . Το παράδειγμα "ο Ιωάννης είναι ψηλός και η Μαρία είναι χαμηλός" θα συμβολίζεται από το "p ^ q" και ο πίνακας της αλήθειας θα είναι:
Ο συνδυασμός προτείνει μια ιδέα συσσώρευσης, οπότε αν μια από τις απλές προτάσεις είναι ψευδής, είναι αδύνατο να είναι αληθές η σύνθετη πρόταση.
Συμπέρασμα : Συνδυασμένες σύνθετες προτάσεις (που περιέχουν το συνδετικό ε ) θα είναι αληθές μόνο όταν όλα τα στοιχεία τους είναι αληθινά.
Παράδειγμα:
- Ο Πάουλο, ο Ρενάτο και ο Τουλίό είναι ευγενικοί και η Κάρολιν είναι αστεία. - Αν ο Paulo, ο Renato ή ο Tulio δεν είναι καλοί ή η Carolina δεν είναι αστείο, η πρόταση θα είναι FALSE. Είναι απαραίτητο όλες οι πληροφορίες να είναι αληθινές ώστε η σύνθετη πρόταση να είναι TRUE.
Διαζύγιο
Η αποσύνδεση συμβολίζεται από το v . Αλλάζοντας το συνδετικό από το παραπάνω παράδειγμα ή θα έχουμε "ο John είναι ψηλός ή η Mary είναι χαμηλή". Σε αυτή την περίπτωση, η πρόταση θα συμβολίζεται με "p v q" και ο πίνακας αλήθειας θα είναι:
Η αποσύνδεση συνεπάγεται μια ιδέα εναλλαγής, οπότε αρκεί να υπάρχει μία από τις απλές προτάσεις, έτσι ώστε να είναι και η ένωση.
Συμπέρασμα : οι διαζευκτικές σύνθετες προτάσεις (που περιέχουν το συνδετικό) θα είναι λανθασμένες μόνο όταν όλα τα στοιχεία τους είναι ψευδή.
Παράδειγμα:
- Η μητέρα μου, ο πατέρας μου ή ο θείος μου θα μου δώσουν ένα δώρο. - Για να είναι αληθινή η δήλωση, αρκεί να δίνει μόνο το ένα μεταξύ της μητέρας, του πατέρα ή του θείου του παρόντος. Η πρόταση θα είναι FALSE μόνο αν δεν το δίνει.
Προϋπόθεση
Ο όρος conditional συμβολίζεται από →. Εκφράζεται από τους ίδιους τους συνδέσμους και στη συνέχεια, που διασυνδέουν τις απλές προτάσεις σε μια αιτιώδη συνάφεια. Το παράδειγμα "Αν ο Paulo είναι Carioca, τότε είναι Βραζιλιάνος" γίνεται "p → q" και ο πίνακας της αλήθειας θα είναι:
Οι προϋποθέσεις έχουν μία προηγούμενη και μία επακόλουθη πρόταση , που διαχωρίζονται από το συνδετικό τότε . Στην ανάλυση των προϋποθέσεων, είναι απαραίτητο να αξιολογηθούν οι περιπτώσεις στις οποίες η πρόταση μπορεί να είναι δυνατή, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση εμπλοκής μεταξύ προηγούμενου και επακόλουθου.
Συμπέρασμα : Οι σύνθετες προτάσεις υπό όρους (που περιέχουν τους συνδέσμους εάν και μόνο) θα είναι ψευδείς μόνο αν η πρώτη πρόταση είναι αληθής και η δεύτερη πρόταση ψευδής.
Παράδειγμα:
- Αν ο Paulo είναι Carioca, τότε είναι Βραζιλιάνος. - Για να θεωρηθεί αυτή η πρόταση ως TRUE, είναι απαραίτητο να αξιολογηθούν οι περιπτώσεις στις οποίες είναι ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ. Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα αλήθειας, έχουμε:
- Paulo είναι Βραζιλιάνος / Paulo είναι Βραζιλίας = ΠΙΘΑΝΗ
- Ο Paulo είναι carioca / ο Paulo δεν είναι Βραζιλιάνος = ΑΔΥΝΑΤΟΣ
- Ο Paulo δεν είναι από το Carioca / ο Paulo είναι Βραζιλιάνος = ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΑ
- Ο Paulo δεν είναι Carioca / ο Paulo δεν είναι Βραζιλιάνος = ΠΙΘΑΝΗ
Biconditional
Το διωνυμικό συμβολίζεται με ↔. Διαβάζεται μέσω των συνδέσμων εάν και μόνο εάν, διασυνδέουν τις απλές προτάσεις σε μια σχέση ισοδυναμίας. Το παράδειγμα "ο Ιωάννης είναι χαρούμενος αν και μόνο εάν χαμογελά η Μαρία". γίνεται "p ↔ q" και ο πίνακας αλήθειας θα είναι:
Οι διωνυμικοί υποδηλώνουν μια ιδέα αλληλεξάρτησης. Όπως το ίδιο το όνομα καταδεικνύει, το biconditional αποτελείται από δύο όρους: ένα που ξεφεύγει από το p στο q (p → q) και ένα άλλο στην αντίθετη κατεύθυνση (q → p).
Συμπέρασμα : Οι προτάσεις που αποτελούνται από δύο τεύχη (που περιέχουν τους συνδέσμους εάν και μόνο αν ) θα είναι αληθινές μόνο όταν όλες οι προτάσεις είναι αληθείς ή όλες οι προτάσεις είναι ψευδείς.
Παράδειγμα:
- Ο Γιάννης είναι χαρούμενος αν και μόνο εάν η Μαρία χαμογελά. - Σημαίνει ότι:
- Αν ο Ιωάννης είναι χαρούμενος, η Μαρία χαμογελά και αν η Μαρία χαμογελά, ο Ιωάννης είναι ευτυχισμένος = ΑΛΗΘΙΝΟΣ
- Αν ο João δεν είναι χαρούμενος, η Μαρία δεν χαμογελά και αν η Μαρία δεν χαμογελάσει, ο João δεν είναι ευτυχισμένος = ΑΛΗΘΙΝΟ
- Αν ο John είναι χαρούμενος, η Mary δεν χαμογελάει = FALSE
- Εάν ο Ιωάννης δεν είναι χαρούμενος, η Μαρία χαμογελάει = FALSE
Γενική επισκόπηση
Είναι σύνηθες για τους μελετητές του πίνακα αλήθειας να απομνημονεύουν τα συμπεράσματα κάθε μιας από τις λογικές πράξεις. Για να εξοικονομήσετε χρόνο στην επίλυση προβλημάτων, να έχετε πάντα υπόψη σας ότι:
- Συνδυαστικές Προτάσεις: Θα είναι αληθινές μόνο όταν όλα τα στοιχεία είναι αληθινά.
- Διαχωριστικές Προτάσεις: Θα είναι μόνο ψευδείς όταν όλα τα στοιχεία είναι ψευδή.
- Προϋποθέσεις υπό όρους: Θα είναι μόνο ψευδείς όταν η πρώτη πρόταση είναι αληθής και η δεύτερη ψευδής.
- Διακοινοτικές προτάσεις: Θα είναι αληθινές μόνο όταν όλα τα στοιχεία είναι αληθινά ή όλα τα στοιχεία είναι ψευδή.
