Γεωμετρική εξέλιξη (PG)
Τι είναι η γεωμετρική πρόοδος (PG):
Πρόκειται για μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε όρος, από τη δεύτερη, είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του προηγούμενου όρου με μια σταθερά q, εκφρασμένη ως λόγος PG.
Παράδειγμα γεωμετρικής εξέλιξης
Η αριθμητική ακολουθία (5, 25, 125, 625 ...) είναι μια αυξανόμενη PG, όπου q = 5. Δηλαδή, κάθε όρος αυτού του PG, πολλαπλασιασμένος με τον λόγο του ( q = 5), έχει ως αποτέλεσμα τον ακόλουθο όρο.
Τύπος για να βρεθεί ο λόγος (q) ενός PG
Μέσα στο Crescent PG (2, 6, 18, 54 ...) υπάρχει μια σταθερή ( q ) σταθερή αλλά άγνωστη. Για να το ανακαλύψουμε, πρέπει να λάβουμε υπόψη τους όρους του PG, όπου: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), εφαρμόζοντάς τους στον ακόλουθο τύπο:
q = a 2 / a 1
Έτσι, για να βρούμε τον λόγο για αυτό το PG, ο τύπος θα αναπτυχθεί ως εξής: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.
Ο λόγος ( q ) του παραπάνω PG είναι 3.
Επειδή ο λόγος ενός PG είναι σταθερός, δηλαδή, είναι κοινός σε όλους τους όρους, μπορούμε να επεξεργαστούμε τον τύπο του με διαφορετικούς όρους, αλλά πάντα να το διαιρέουμε από τον προκάτοχό του. Υπενθυμίζοντας ότι ο λόγος ενός PG μπορεί να είναι οποιοσδήποτε λογικός αριθμός, εξαιρουμένου του μηδενός (0).
Παράδειγμα: q = a 4 / a 3, που μέσα στο PG παραπάνω έχει επίσης ως αποτέλεσμα q = 3.
Φόρμουλα για να βρείτε τον γενικό όρο PG
Υπάρχει ένας βασικός τύπος για την εύρεση οποιουδήποτε όρου σε μια PG. Στην περίπτωση των PG (2, 6, 18, 54, a n ...), για παράδειγμα, όπου το n το οποίο μπορεί να ονομαστεί ως ο πέμπτος ή n ο όρος, ή το 5, είναι ακόμα άγνωστο. Για να βρεθεί αυτός ή άλλος όρος, χρησιμοποιείται ο γενικός τύπος:
ένα η = α m ( q ) nm
Πρακτικό παράδειγμα - Ο τύπος του γενικού όρου της PG αναπτύχθηκε
Είναι γνωστό ότι :
a n είναι οποιοσδήποτε άγνωστος όρος που πρέπει να βρεθεί.
ένα m είναι ο πρώτος όρος PG (ή οποιοσδήποτε άλλος, εάν ο πρώτος όρος δεν υπάρχει)?
q είναι ο λόγος PG.
Επομένως, στην PG (2, 6, 18, 54, a n ...) όπου αναζητείται ο πέμπτος όρος (a 5 ), ο τύπος θα αναπτυχθεί με τον ακόλουθο τρόπο:
ένα η = α m ( q ) nm
σε 5 = 1 (q) 5-1
σε 5 = 2 (3) 4
σε 5 = 2, 81
στο 5 = 162
Έτσι, διαπιστώνουμε ότι ο πέμπτος όρος (a 5 ) του PG (2, 6, 18, 54, a n ...) είναι = 162.
Αξίζει να θυμηθούμε ότι είναι σημαντικό να μάθετε τον λόγο για μια PG για να βρείτε έναν άγνωστο όρο. Στην περίπτωση της PG παραπάνω, για παράδειγμα, ο λόγος ήταν ήδη γνωστός ως 3.
Οι ταξινομήσεις γεωμετρικής εξέλιξης
Μεγαλύτερη γεωμετρική πρόοδος
Για να θεωρηθεί μια PG να αυξάνεται, ο λόγος της θα είναι πάντα θετικός και οι όροι της θα αυξηθούν, δηλαδή θα αυξηθούν μέσα στην αριθμητική σειρά.
Παράδειγμα: (1, 4, 16, 64 ...), όπου q = 4
Στην αύξουσα PG με θετικούς όρους, q > 1 και με τους αρνητικούς όρους 0 < q <1.
Γεωμετρική μείωση της εξέλιξης
Για να θεωρηθεί ότι μια PG μειώνεται, ο λόγος της θα είναι πάντοτε θετικός και μη και οι όροι της θα μειωθούν μέσα στην αριθμητική ακολουθία, δηλαδή θα μειωθούν.
Παραδείγματα: (200, 100, 50 ...), όπου q = 1/2
Στην μειούμενη PG με θετικούς όρους, 0 < q <1 και με αρνητικούς όρους, q > 1.
Ταλαντευόμενη γεωμετρική πρόοδος
Για μια PG που θεωρείται ταλαντευόμενη, ο λόγος της θα είναι πάντα αρνητικός ( q <0) και οι όροι της εναλλάσσονται μεταξύ αρνητικού και θετικού.
Παράδειγμα: (-3, 6, -12, 24, ...), όπου q = -2
Συνεχής γεωμετρική εξέλιξη
Για να θεωρηθεί μια PG σταθερή ή σταθερή, ο λόγος της θα είναι πάντα ίσος με έναν ( q = 1).
Παράδειγμα: (2, 2, 2, 2 ...), όπου q = 1.
Διαφορά μεταξύ αριθμητικής εξέλιξης και γεωμετρικής εξέλιξης
Όπως και η PG, η BP αποτελείται επίσης από μια αριθμητική ακολουθία. Ωστόσο, οι όροι μιας PA είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος κάθε όρου με την αναλογία ( r ), ενώ οι όροι PG, όπως δίδονται παραδειγματικά παραπάνω, είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού κάθε όρου με την αναλογία του ( q ) .
Παράδειγμα:
Στο PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) ο λόγος ( r ) είναι 2. Δηλαδή, ο πρώτος όρος που προστέθηκε στο r 2 έχει ως αποτέλεσμα τον επόμενο και ούτω καθεξής.
Στο PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) ο λόγος ( q ) είναι επίσης 2. Αλλά σε αυτή την περίπτωση ο όρος πολλαπλασιάζεται με q 2, με αποτέλεσμα τον επόμενο και ούτω καθεξής.
Δείτε επίσης την έννοια της αριθμητικής εξέλιξης.
Πρακτική έννοια ενός PG: πού μπορεί να εφαρμοστεί;
Η γεωμετρική πρόοδος επιτρέπει την ανάλυση της παρακμής ή της ανάπτυξης κάτι. Πρακτικά, η PG καθιστά δυνατή την ανάλυση, για παράδειγμα, των θερμικών παραλλαγών, της αύξησης του πληθυσμού, μεταξύ άλλων τύπων επαληθεύσεων που υπάρχουν στην καθημερινότητά μας.
